1 - Triângulos equiláteros sobre paralelogramo
Construa um paralelogramo \(ABCD\) de lados \(AB\), \(BC\) ,\(CD\) e \(DA\). Em seguida, sobre cada lado de \(ABCD\), construa para fora do paralelogramo os triângulos equiláteros \(ABP\), \(BCQ\), \(CDR\) e \(DAS\) e marque seus baricentros \(E\), \(F\), \(G\) e \(H\), respectivamente. Por fim, construa o quadrilátero \(EFGH\).
a) Mova os pontos livres e, se houver, os semilivres e observe.
b) Qual é o invariante geométrico?
c) Justifique o invariante geométrico obtido.Quero fazer a construção no GeoGebra!
Quero ver a construção pronta!
Demonstração: Vamos mostrar que o quadrilátero \(EFGH \) tem os lados opostos iguais. Afinal todo quadrilátero plano com dois pares de lados opostos iguais é um paralelogramo (Exercício 1). Para mostrar que \(EF = GH\) , considere os triângulos \(EFB\) e \(GHD\).
Vamos mostrar que os triângulos \(EFB\) e \(GHD\) são congruentes por lado-ângulo-lado (LAL). Porque se esses dois triângulos são congruentes, então \(EF = GD\)Justificativa da congruência de \(EFB\) e \(GHD\) :
Igualdade dos lados opostos. Como os lados opostos de qualquer paralelogramo são iguais e \(ABCD\) é um paralelogramo, temos \(AB= CD\) e \(AD = BC\).
Assim, os triângulos equilátero \(ABP\) e \(CDR\) são congruentes, do mesmo modo \(ADS\) e \(BCQ\) são congruentes.
As medianas de triângulos equiláteros congruentes têm todas o mesmo comprimento.
Como se sabe, o baricentro de qualquer triângulo divide as medianas na razão de 2 para 1, a partir do vértice de onde ela é tomada. Assim, \(BF = DH\) e \(BE = DG\).
Igualdade dos ângulos opostos \(EBF\) e \(GDH\). Lembre-se que em qualquer paralelogramo, os ângulos opostos são iguais. Como \(ABCD\) é um paralelogramo, os ângulos internos em \(B\) e em \(D\) são iguais (estão representados por \(\alpha\) na figura a seguir).
Repare que \(\widehat {EBF}\ = 360^\circ -( 30^\circ +\alpha\ + 30^\circ \)). Do mesmo modo que \(\widehat {GDH}\ = 360^\circ -( 30^\circ +\alpha\ + 30^\circ \)), portanto, \(\widehat {EBF} = \widehat{GDH}\).
Então os triângulos \(EFB\) e \(GHD\) são congruentes por LAL, logo \(EF = GH\).
A demonstração de que \(HE =FG\) é análoga e será deixada como exercício. \(\square\)
Exercícios
1) Qual é a definição de paralelogramo?
2) O que é o baricentro de um triângulo? Esse ponto é a interseção de quais segmentos de reta do triângulo?
3) Mostre que se um quadrilátero \(EFGH\) é tal que \(EF = GH\) e \(FG = EH\), então esse quadrilátero é um paralelogramo.
4) Mostre que se um quadrilátero \(ABCD\) é um paralelogramo, então seus lados opostos são iguais, isto é, mostre que \(AB = CD\) e \(BC = DA\).
5) Mostre que se \(ABCD\) é um paralelogramo, então os ângulos internos opostos são congruentes, isto é, mostre que \(\widehat{A} = \widehat{C}\) e \(\widehat{B} = \widehat{D}\).
6) Faça a parte que falta da demonstração do invariante, isto é, mostre que \(FG = HE\).