Demonstração do invariante
O quadrilátero \(EFGH \) é um quadrado, destacando-se como um invariante geométrico.
Demonstração: Queremos mostrar que \(EFGH\) é um quadrado. Isto é, todos os lados têm comprimentos iguais e seus ângulos internos são reto.
Para justificar que \(FG = GH\), vamos mostrar que os triângulos \(FBG\) e \(HCG\) são congruentes (por lado-ângulo-lado - LAL). As demais igualdades de lados podem ser justificadas de maneira análoga à que faremos para essa igualdade.
Nomeie os ângulos \( \theta =\widehat{BCD}\) , \( \beta=\widehat{ABC}\) e \( \alpha=\widehat{PBQ} \) como na imagem a seguir.
Como \(\theta + \beta = 180^\circ\) (Exercício 1, a seguir) e \(\alpha + \beta = 180^\circ\) (Exercício 2), então \(\alpha + \beta = \theta +\beta\) , desse modo temos que \( \alpha = \theta \). Além disso, \(BG = CG\) (ambos são a metade da diagonal do quadrado) e \(BF=CH\), portanto, os triângulos \(FBG\) e \(HCG\) são congruentes por LAL, por isso, \(FG=GH\).
Agora vamos mostrar que o ângulo interno de \(EFGH\) em \(G\) mede \(90^\circ\). Para isso, considere o ângulo \( \omega= \widehat{BGH} \).
Lembre-se que as diagonais de qualquer quadrado formam \(90^\circ\) entre si (Exercício 3). Por isso, \(\omega = 90^\circ - \widehat{HGC}\). Como os triângulos \(FBG\) e \(HCG\) são congruentes, seus ângulos correspondentes em \(G\) são iguais, isto é \(\widehat{HGC} =\widehat{BGF}\). Portanto, \(\omega= 90^\circ - \widehat{BGF}\). Logo \(\widehat{FGH} = 90^\circ\). Assim \(EFGH\) é um losango (tem todos os lados iguais) com um ângulo interno reto, logo, \(EFGH\) é um quadrado pois em qualquer paralelogramo (lembre-se que os losangos são paralelogramos) os ângulos opostos são iguais (Exercício 4) e os ângulos consecutivos são suplementares.