Demonstração do invariante:
O quadrilátero \(EFGH \) é um paralelogramo, destacando-se como um invariante geométrico.
Demonstração: Vamos mostrar que o quadrilátero \(EFGH \) tem os lados opostos iguais. Afinal todo quadrilátero plano com dois pares de lados opostos iguais é um paralelogramo (Exercício 1). Para mostrar que \(EF = GH\) , considere os triângulos \(EFB\) e \(GHD\).
Justificativa da congruência de \(EFB\) e \(GHD\) :
Igualdade dos lados opostos. Como os lados opostos de qualquer paralelogramo são iguais e \(ABCD\) é um paralelogramo, temos \(AB= CD\) e \(AD = BC\).
Assim, os triângulos equilátero \(ABP\) e \(CDR\) são congruentes, do mesmo modo \(ADS\) e \(BCQ\) são congruentes.
As medianas de triângulos equiláteros congruentes têm todas o mesmo comprimento.
Como se sabe, o baricentro de qualquer triângulo divide as medianas na razão de 2 para 1, a partir do vértice de onde ela é tomada. Assim, \(BF = DH\) e \(BE = DG\).
Igualdade dos ângulos opostos \(EBF\) e \(GDH\). Lembre-se que em qualquer paralelogramo, os ângulos opostos são iguais. Como \(ABCD\) é um paralelogramo, os ângulos internos em \(B\) e em \(D\) são iguais (estão representados por \(\alpha\) na figura a seguir).
Repare que \(\widehat {EBF}\ = 360^\circ -( 30^\circ +\alpha\ + 30^\circ \)). Do mesmo modo que \(\widehat {GDH}\ = 360^\circ -( 30^\circ +\alpha\ + 30^\circ \)), portanto, \(\widehat {EBF} = \widehat{GDH}\).
Então os triângulos \(EFB\) e \(GHD\) são congruentes por LAL, logo \(EF = GH\).
A demonstração de que \(HE =FG\) é análoga e será deixada como exercício. \(\square\)