Demonstração do invariante
O quadrilátero \(ADEF\) é um paralelogramo, destacando-se como um invariante geométrico.
Demonstração:
Para mostrar que \(ADEF\) é um paralelogramo, vamos justificar que esse quadrilátero tem dois pares de lados opostos congruentes, isto é, que (a) \(AD = EF\) e que (b) \(AF = DE\).
(a) Para justificar que \(AD=EF\), vamos mostrar primeiro que os triângulos \(ABC\) e \(FBE\) são congruentes para obter \(AC = EF\). Como o triângulo \(ACD\) é equilátero, vale \(AD = AC\). Como \(AD = AC\) e \( AC = EF\), teremos \(AD = EF\).
Mostraremos que \(ABC\) e \(FBE\) são congruentes por lado-ângulo-lado. Mais especificamente, que \(AB =FB\), \(BC=BE\) e \(\widehat{ABC}=\widehat{FBE}\). Como \(FBA\) e \(BCE\) são equiláteros, temos \(AB=FB\) e \(BC = BE\). Falta mostrar a igualdade dos ângulos. Chame \(\alpha = \widehat{ABE}\).
Note que \(\widehat {ABC}\ = 60^\circ -\alpha\ = \widehat {FBE}\) (Exercício 1) , portanto, \(\widehat{ABC}\ = \widehat {FBE}\) , logo, pelo critério LAL (lado - ângulo - lado), os triângulos \(ABC\) e \(FBC\) são congruentes. Aqui supomos que o ponto \(A\) está no interior do triângulo \(EBC\), caso esteja fora, o argumento é análogo. Com isso conclui-se a justificativa de (a), isto é, \(AD=EF\).
(b) Agora vamos justificar que \(AF = DE\). O argumento é análogo ao anterior. Os triângulos \(ABC\) e \(DEC\) são congruentes por LAL pois \(BC = EC\) , \(AC = DC\) (Exercício 2) e \(\widehat{ACB}\ = \widehat {ECD}\) (Exercício 3). A congruência garante que \(AB = DE\). Como \(FBA\) é equilátero, vale \(AF = AB\), portanto, \(AF = DE\).
Assim, \(ADEF\) é um paralelogramo pois possui dois pares de lados oposto iguais (Exercício 4).
Na figura, \(\beta = \widehat{ACE}\).