2 - Quadrados sobre paralelogramo
Construa um paralelogramo \(ABCD\) de lados \(AB\), \(BC\), \(CD\) e \(DA\). Em cada um de seus lados, construa quadrados para fora do paralelogramo. Marque, então, os centros \(E\), \(F\), \(G\) e \(H\) desses quadrados e, por fim, desenhe o quadrilátero \(EFGH\).
a) Mova os pontos livres e, se houver, os semilivres, observando o quadrilátero \(EFGH\).
b) Qual é o invariante geométrico?
c) Justifique o invariante geométrico obtido.Quero fazer a construção no GeoGebra!
Quero ver a construção pronta!Demonstração: Queremos mostrar que \(EFGH\) é um quadrado. Isto é, todos os lados têm comprimentos iguais e seus ângulos internos são reto.
Para justificar que \(FG = GH\), vamos mostrar que os triângulos \(FBG\) e \(HCG\) são congruentes (por lado-ângulo-lado - LAL). As demais igualdades de lados podem ser justificadas de maneira análoga à que faremos para essa igualdade.
Nomeie os ângulos \( \theta =\widehat{BCD}\) , \( \beta=\widehat{ABC}\) e \( \alpha=\widehat{PBQ} \) como na imagem a seguir.
Como \(\theta + \beta = 180^\circ\) (Exercício 1, a seguir) e \(\alpha + \beta = 180^\circ\) (Exercício 2), então \(\alpha + \beta = \theta +\beta\) , desse modo temos que \( \alpha = \theta \). Além disso, \(BG = CG\) (ambos são a metade da diagonal do quadrado) e \(BF=CH\), portanto, os triângulos \(FBG\) e \(HCG\) são congruentes por LAL, por isso, \(FG=GH\).
Agora vamos mostrar que o ângulo interno de \(EFGH\) em \(G\) mede \(90^\circ\). Para isso, considere o ângulo \( \omega= \widehat{BGH} \).
Lembre-se que as diagonais de qualquer quadrado formam \(90^\circ\) entre si (Exercício 3). Por isso, \(\omega = 90^\circ - \widehat{HGC}\). Como os triângulos \(FBG\) e \(HCG\) são congruentes, seus ângulos correspondentes em \(G\) são iguais, isto é \(\widehat{HGC} =\widehat{BGF}\). Portanto, \(\omega= 90^\circ - \widehat{BGF}\). Logo \(\widehat{FGH} = 90^\circ\). Assim \(EFGH\) é um losango (tem todos os lados iguais) com um ângulo interno reto, logo, \(EFGH\) é um quadrado pois em qualquer paralelogramo (lembre-se que os losangos são paralelogramos) os ângulos opostos são iguais (Exercício 4) e os ângulos consecutivos são suplementares.
EXERCÍCIOS
1) Explique por que os ângulos internos consecutivos, \(\beta\) e \(\theta\), do paralelogrammo \(ABCD\) são suplementares, isto é, explique por que \(\beta + \theta = 180^\circ\).
2) Explique por que \(\alpha\ + \beta\ = 180^\circ\).
3) Explique por que as diagonais de qualquer quadrado fazem um ângulo de \(90^\circ\) entre si.
4) Explique por que os ângulos opostos de qualquer paralelogramo são iguais.