Geometria Espacial - EP Aula 22 - Gabarito
Exercício 1.
Qual é o polígono com o maior número de lados que se pode obter como interseção de um cubo e um plano? Faça uma figura que represente a sua resposta.
Solução: Como o cubo possui 6 lados, uma primeira limitação para este número é 6. Experimentando você pode encontrar uma seção como a da figura abaixo com exatamente 6 lados. Neste caso os vértices do polígono são pontos médios das arestas, mas isso não é necessário para se obter um hexágono. Veja este aplicativo: https://www.geogebra.org/m/axjppyqr
Exercício 2.
A soma total dos ângulos de todas as faces de um prisma é 8640
Solução:
Lembrando que a soma dos ângulos internos de um polígono de
Exercício 3.
Um prisma reto cuja base é um pentágono regular de lado medindo 1 cm tem uma diagonal maior
fazendo ângulo de 60
Solução:
A diagonal do pentágono de base
Apêndice à solução: Seja
Observação: Acredito que as contas deste apêndice sejam importantes para estarem presentes no “repertório” de um Professor de Matemática do Ensino Médio ou de cursos preparatórios desse nível de escolaridade.
Exercício 4.
Por duas vezes Benício juntou, como na figura, três dados com faces numeradas de 1 a 6, de tal modo que faces em contato tivessem o mesmo número. Em cada uma das vezes ele somou os números de todas as faces que não ficaram em contato entre si. A diferença entre as somas obtidas foi 16. Quais são os números das faces que nunca ficaram em contato entre si?
Solução: Esta questão tem por objetivo desenvolver um pouco da visão espacial do estudante e estimular o raciocínio lógico.
Sejam
Não há perda de generalidade em supor que
Uma análise caso a caso nos mostra que
Em todo caso, as faces que não estão em contato em nenhuma das duas montagens são as faces 3 e 4.
Uma solução mais curta para este problema pode ser encontrada na questão 12 da OBMEP 2017 neste vídeo.
Exercício 5.
Existe algum prisma em que uma das faces laterais pode ser tomada por base do prisma? Justifique a sua resposta.
Solução:
Sim, os paralelepípedos são prismas em que qualquer face pode ser tomada por base. De fato, escolha uma face
Exercício 6.
Mostre que as faces opostas de um paralelepípedo são paralelas e congruentes.
Solução: Esta é a proposição 2 desta aula.
Exercício 7.
Considere um cubo
-
a)
Faça uma figura ilustrativa que represente a situação.
-
b)
Calcule o menor comprimento possível do barbante em questão. Apresente o seu raciocínio.
Solução:
-
a)
-
b)
Em cada uma das faces, o comprimento dos segmentos vermelhos que representam trechos do barbante são coincidem com seus comprimentos na planificação. Na planificação o menor caminho entre os pontos
e cruzando todas as faces laterais duas vezes é a união dos segmentos de reta indicados na figura.Portanto, chamando de
a aresta do cubo, o comprimento do barbante é a soma das hipotenusas dos triângulos retângulos (congruentes) destacados na figura. Usando o Teorema de Pitágoras obtemos