Solução: Como o cubo possui 6 lados, uma primeira limitação para este número é 6. Experimentando você pode encontrar uma seção como a da figura abaixo com exatamente 6 lados. Neste caso os vértices do polígono são pontos médios das arestas, mas isso não é necessário para se obter um hexágono. Veja este aplicativo: https://www.geogebra.org/m/axjppyqr

Solução: Lembrando que a soma dos ângulos internos de um polígono de $n$ lados é $180(n-2)$ e que a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é $360$, temos que a soma dos ângulos internos de todas as faces de um prisma cujo polígono de base tem $n$ lados é dada por $S=180(n-2)+180(n-2)+360n$. Como $S=8640$, temos após poucas contas que $n=13$.

Solução: A diagonal do pentágono de base $AC$ mede $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ (veja o apêndice). Como $AC$ é a projeção ortogonal de $AH$ sobre o plano da base e a diagonal do prisma $AH$ faz ângulo de $60^{\circ}$ com o plano da base, o ângulo entre $AH$ e $AC$ é $60^{\circ}$. Finalmente, como o prisma é reto, o triângulo $ACH$ é retângulo em $C$ e portanto $tg60^{\circ}=\frac{HC}{AC}$, logo $HC=\frac{\sqrt{3}(1+\sqrt{5})}{2}$. Então a área lateral deste prisma reto é $\dfrac{5\sqrt{3}(1+\sqrt{5})}{2}$.

Apêndice à solução: Seja $x$ o comprimento da diagonal de um pentágono regular $ABCDE$ de lado 1. Lembre-se que o ângulo interno de um pentágono regular é 108${}^{\circ}$. Na figura, os triângulos $CDF$, $EDF$ e $CDE$ são isósceles e $CDE$ e $EDF$ são semelhantes pelo caso ângulo-ângulo. Então temos $\frac{EF}{ED}=\frac{ED}{EC}$, ou seja, $x^{2}-x-1=0$, logo $x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$.

Observação: Acredito que as contas deste apêndice sejam importantes para estarem presentes no “repertório” de um Professor de Matemática do Ensino Médio ou de cursos preparatórios desse nível de escolaridade.

Solução: Esta questão tem por objetivo desenvolver um pouco da visão espacial do estudante e estimular o raciocínio lógico.

Sejam $S_{1}$ e $S_{2}$ as somas das faces que não estão em contato em cada uma das vezes que Benício juntou os dados. Umas das técnicas de resolução de problemas mais conhecidas é trabalhar com o complementar: em vez de tentar determinar as faces que somamos, vamos considerar aquelas que estão em contato. Como a soma de todas as faces de um dado é $1+2+3+4+5+6=21$, os valores de $S_{1}$ e de $S_{2}$ são dados por 63 menos as faces que estão em contato. Digamos que na primeira montagem as faces que estão em contato são $a$ e $b$, então $S_{1}=63-2(a+b)$. Analogamente $S_{2}=63-2(c+d)$, onde $c$ e $d$ são as faces que ficaram em contato.

Não há perda de generalidade em supor que $S_{2}>S_{1}$ e neste caso sabe-se do enunciado que $S_{2}-S_{1}=16$. Isto equivale a $(a+b)-(c+d)=8$. Como $a$, $b$, $c$ e $d$ são faces de dados e como $a\neq b$ e $c\neq d$, temos

Uma análise caso a caso nos mostra que $a=5$ e $b=6$ (ou $a=6$ e $b=5$) e $c=1$ e $d=2$ (ou $c=2$ e $d=1$). Observe que as montagens com os valores entre parênteses são as mesmas das que estão fora pois podem ser obtidas daquelas por uma rotação.

Em todo caso, as faces que não estão em contato em nenhuma das duas montagens são as faces 3 e 4.

Uma solução mais curta para este problema pode ser encontrada na questão 12 da OBMEP 2017 neste vídeo.

Solução: Sim, os paralelepípedos são prismas em que qualquer face pode ser tomada por base. De fato, escolha uma face $F$ de um paralelepípedo, por definição, todas as faces adjacentes a $F$ são paralelogramos. Além disso, conforme provado na Proposição 2 desta aula a face oposta a $F$ é paralela e congruente a ela.

Solução: Esta é a proposição 2 desta aula.

Solução:

1. a)
   ​
2. b)
   ​

   Em cada uma das faces, o comprimento dos segmentos vermelhos que representam trechos do barbante são coincidem com seus comprimentos na planificação. Na planificação o menor caminho entre os pontos $A$ e $A^{\prime}$ cruzando todas as faces laterais duas vezes é a união dos segmentos de reta indicados na figura.

   Portanto, chamando de $a$ a aresta do cubo, o comprimento do barbante é a soma das hipotenusas dos triângulos retângulos (congruentes) destacados na figura. Usando o Teorema de Pitágoras obtemos

   $$2\sqrt{(4a)^{2}+\left(\frac{a}{2}\right)^{2}}=a\sqrt{65}=40\sqrt{65}cm\approx 322{,}5cm.$$