Geometria Espacial - Exercícios Programados da Aula 20: Ângulos no espaço11 1 O conteúdo desta semana encontra-se no livro Geometria Básica - Volume 2. - Gabarito
Exercício 1.
Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Ilustre com um exemplo as verdadeiras e com um contra-exemplo as falsas.
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a)
Se duas retas são paralelas entre si e um plano é perpendicular a uma delas, então ele é perpendicular à outra reta.
-
b)
Se dois planos distintos são perpendiculares a uma reta, então eles são paralelos entre si.
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c)
Se duas retas distintas são perpendiculares a uma reta do espaço, então elas são paralelas.
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d)
Se duas retas distintas são perpendiculares a um plano, então elas são paralelas.
Solução:
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a)
Verdadeiro.
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b)
Verdadeiro.
-
c)
Falso.
-
d)
Verdadeiro.
Ilustrações:
Exercício 2.
Seja
Solução:
Apenas um plano. Seja
Exercício 3.
A figura a seguir representa um cubo de aresta
Solução:
Uma boa estratégia para se verificar que duas retas são perpendiculares é encontrar um plano que contenha uma delas e seja perpendicular à outra. Aqui o plano
Definição 1.
Dados dois pontos
Exercício 4.
O plano mediador
-
a)
Considere um ponto
do plano mediador do segmento . Mostre que . -
b)
Seja
um ponto do espaço tal que . Mostre que pertence ao plano mediador do segmento . -
c)
Conclua dos itens a) e b) que o plano mediador
do segmento é o conjunto
Solução:
-
a)
Seja
o ponto médio do segmento . Como é perpendicular ao plano , então é perpendicular a toda reta deste plano. Em particular, é perpendicular a . Portanto, a reta é perpendicular ao segmento e passa pelo ponto médio de , ou seja, a reta é a mediatriz do segmento no plano . Logo, .De outro modo, pode-se justificar que os triângulos
e são congruentes pelo caso LAL de congruência de triângulos pois , e é comum a ambos os triângulos, logo . -
b)
Considere o plano
. Como os pontos e pertencem a este plano, a reta está contida nele. Logo, o ponto médio de também pertence ao plano . Assim o resultado novamente segue do caso plano, pois se , então pertence à mediatriz do segmento no plano e, portanto, a reta é perpendicular a . Conclusão, pertence ao plano mediador de .Caso prefira evitar usar a propriedade da mediatriz como lugar geométrico, pode-se observar que os triângulos
e , do plano são congruentes pelo caso de congruência de triângulos, donde os ângulos e são iguais e somam , logo são ângulos retos, de onde conclui-se que pertence ao plano mediador de . -
c)
Justificamos no item a) que todo ponto do plano mediador cumpre a condição
, isto é, queNo item b) mostramos que todo ponto
do espaço que satisfaz é um ponto do plano mediador, isto é, mostramos queIsso significa que os conjuntos
e têm exatamente os mesmos elementos, ou seja, são conjuntos iguais.
Exercício 5.
A figura representa um octaedro regular de vértices
Solução:
Observe que
Exercício 6.
Mostre que a reta
Solução:
Como os polígonos
Exercício 7.
No cubo da figura os pontos
Solução:
Todos os pontos azuis estão no plano mediador do segmento