Exercício 1.

Geometria Espacial - Exercícios Programados da Aula 20: Ângulos no espaço¹¹ 1 O conteúdo desta semana encontra-se no livro Geometria Básica - Volume 2.

Exercício 1.

Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Ilustre com um exemplo as verdadeiras e com um contra-exemplo as falsas.

a)

Se duas retas são paralelas entre si e um plano é perpendicular a uma delas, então ele é perpendicular à outra reta.
b)

Se dois planos distintos são perpendiculares a uma reta, então eles são paralelos entre si.
c)

Se duas retas distintas são perpendiculares a uma reta do espaço, então elas são paralelas.
d)

Se duas retas distintas são perpendiculares a um plano, então elas são paralelas.

Exercício 2.

Seja $\alpha$ um plano e $r$ uma reta não perpendicular a $\alpha$ . Quantos planos contendo $r$ perpendiculares a $\alpha$ existem? Justifique sua resposta.

Exercício 3.

A figura a seguir representa um cubo de aresta $1$ . Mostre que as retas $EC$ e $BD$ são perpendiculares.

Definição 1.

Dados dois pontos $A$ e $B$ no espaço, o plano mediador do segmento $AB$ é o plano perpendicular ao segmento $AB$ que passa pelo ponto médio de $AB$ .

Exercício 4.

O plano mediador $\mu_{AB}$ de um segmento $AB$ cumpre, no espaço, o papel que a mediatriz cumpre no plano no sentido de que ele é o conjunto dos pontos do espaço que estão a uma mesma distância dos extremos do segmento. Nesta questão você deverá justificar este fato.

a)

Considere um ponto $P$ do plano mediador do segmento $AB$ . Mostre que $PA=PB$ .
b)

Seja $Q$ um ponto do espaço tal que $QA=QB$ . Mostre que $Q$ pertence ao plano mediador do segmento $AB$ .
c)

Conclua dos itens a) e b) que o plano mediador $\mu_{AB}$ do segmento $AB$ é o conjunto

$\mu_{AB}=\{X\;/\;XA=XB\}.$

Exercício 5.

A figura representa um octaedro regular de vértices $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ e $F$ . Um octaedro regular é um sólido geométrico que possui 8 faces, que são todas triângulos equiláteros. Mostre que os vértices $A$ , $B$ , $C$ e $D$ estão todos no mesmo plano e conclua que $ABCD$ é um losango.

Exercício 6.

Mostre que a reta $EF$ é perpendicular ao plano $ABC$ .

Exercício 7.

No cubo da figura os pontos $M$ , $N$ , $O$ , $P$ , $Q$ e $R$ são pontos médios das arestas $AB$ , $BF$ , $FG$ , $GH$ , $HD$ e $DA$ , respectivamente (veja a figura). Mostre que os pontos $M$ , $N$ , $O$ , $P$ , $Q$ e $R$ estão todos num mesmo plano.