Solução: Dizemos que três pontos são colineares quando existe uma reta que contém os três. É claro que dois pontos são sempre colineares. No caso de três pontos colineares há apenas uma reta que contém os três pontos porque duas retas que se intersectam em dois pontos são a mesma reta.

Caso os três pontos sejam não colineares, então eles formam um triângulo e o maior número de retas que eles determinam é três (combinação de 3 tomados 2 a 2). Isso porque cada dois pontos determinam exatamente uma reta. Neste caso as retas são $AB$, $AC$ e $BC$.

Solução: Sejam $\alpha$ o plano dado e $\beta$ o plano determinado pelo triângulo. Os pontos de interseção das retas que contêm os lados do triângulo com o plano $\alpha$ pertencem tanto ao plano $\alpha$ como ao plano $\beta$. Logo são pontos colineares pois estão na reta de interseção dos planos $\alpha$ e $\beta$.

Solução: Como buscamos o maior número de retas que esses quatro pontos determinam, devemos tomar quaisquer três como sendo não colineares. Neste caso, cada par de pontos distintos vai formar uma reta. Teremos 6 retas distintas (combinação de 4 tomados dois a dois): com $A$ temos $AB$, $AC$ e $AD$, com $B$ temos $BA$, $BC$ e $BD$, mas $AB=BA$. Com $C$ temos $CA$, $CB$ e $CD$, mas $CA=AC$ e $CB=BC$. Finalmente, as retas são $AB$, $AC$, $AD$, $BC$, $BD$ e $CD$.

Solução: Três pontos são sempre coplanares e neste caso eles determinam no máximo um plano, caso eles sejam não colineares. Mas 4 pontos podem ser não coplanares e, neste caso, cada três determina um único plano, portanto, tomando as combinações de 4 tomados 3 a 3 obtemos 4 planos distintos. Outra alternativa, sem utilizar técnicas de contagem é listar todos os planos: $ABC$, $ABD$, $ACD$ e $BCD$.

Solução: Uma possibilidade é a da figura a seguir.

Solução: Sejam $B$ e $C$ pontos de $r$ e $A$ um ponto externo a $r$. Considere uma circunferência $S$ de centro em $C$ que passe por $A$. Para cada ponto $A^{\prime}$ de $S$, os pontos $A^{\prime}$, $B$ e $C$ são não colineares porque $A^{\prime}\notin r$, logo determinam um plano $A^{\prime}BC$. Além disso, cada ponto $A^{\prime}$ de $S$, determina um plano $A^{\prime}BC$ distinto. De fato, se $A^{\prime}\neq A^{\prime\prime}$ pertencem a $S$, então o plano $A^{\prime}BC$ contém $A^{\prime\prime}$ apenas se $A^{\prime\prime}$ for o ponto de $S$ diametralmente oposto a $A^{\prime}$.

Mova o ponto $A^{\prime}$ no aplicativo do GeoGebra para ganhar intuição à respeito (link).

Solução: Duas retas são reversas quando não existe um plano que contenha as duas, isto é, quando não são coplanares. Quando duas retas são reversas, existe um (e somente um) par de planos paralelos tais que cada plano contém uma das retas. Mas retas contidas em planos paralelos também podem ser paralelas entre si. Por exemplo, no cubo $ABCD-A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$, as retas $AA^{\prime}$ e $B^{\prime}C^{\prime}$ são reversas pois o único plano que contém $A$, $A^{\prime}$ e $B^{\prime}$ é a face $ABB^{\prime}A^{\prime}$ e esse plano não contém o ponto $C^{\prime}$. Por outro lado, as retas $AA^{\prime}$ e $BB^{\prime}$ estão contidas nos planos paralelos $AA^{\prime}D^{\prime}D$ e $BB^{\prime}C^{\prime}C$, respectivamente, e são paralelas.

Solução:

1. a)
   ​

   Falsa. Caso os três pontos sejam colineares, por eles passarão infinitos planos. Veja a figura do Exercício 4.

2. b)
   ​

   Falso. As três arestas em um vértice de um cubo, estão contidas em três retas que se intersectam em um ponto, mas não são coplanares.

3. c)
   ​

   Verdadeiro. Veja a solução do Exercício 4.

4. d)
   ​

   Verdadeiro. Esta é uma maneira de expresssar em uma única frase as Proposições 4 e 5 da Aula 18. Sejam $r$ uma reta não contida no plano $\alpha$ e $s$ uma reta de $\alpha$ tal que $r$ e $s$ são paralelas. Queremos mostrar que $r\cap\alpha=\emptyset$, argumentaremos por contradição. Se existe $P\in r\cap\alpha$, vamos mostrar que $P\in r\cap s$, o que é uma contradição pois as retas $r$ e $s$ são paralelas, donde concluiremos que $r\cap\alpha=\emptyset$. Considere o plano $\beta$ determinado pelas retas paralelas $r$ e $s$. Os planos $\alpha$ e $\beta$ são secantes pois não são iguais ($r$ não está contida em $\alpha$) e não são paralelos ($s$ está na interseção dos dois planos), assim a interseção de $\alpha$ e $\beta$ é a reta $s$. Ora, se $P\in r\cap\alpha$, então $P\in\alpha\cap\beta=s$. Logo $P\in r\cap s$.

   
5. e)
   ​

   Falso. Considere dois planos paralelos e um par de retas concorrentes em um deles.