4 - Teorema de Napoleão
Dado um triângulo \(ABC\) construa externamente os triângulos equiláteros \(DAB\), \(EBC\) e \(FCA\). Sejam \(G_1\), \(G_2\) e \(G_3\), respectivamente, os centros dos triângulos equiláteros. Trace o triângulo \(G_1 G_2 G_3\).
a) Mova os pontos livres e, se houver, os semilivres, observando o triângulo \(G_1 G_2 G_3\).
b) Qual o invariante geométrico?
c) Justifique o invariante geométrico obtido.Quero fazer a construção no GeoGebra!
Quero ver a construção pronta!Estratégia da demonstração:
Vamos mostrar que \(G_1 G_2 = G_2 G_3 = G_3 G_1\).
Para provar que \(G_1 G_2 = G_2 G_3\) mostraremos que:
(a) \(G_1 G_2 B\) é semelhante a \(AEB\) com razão de semelhança \(\frac{\sqrt{3}}{3}\), assim teremos que \(G_1 G_2 = AE \frac{\sqrt{3}}{3}\).
(b) \(G_2 G_3 C\) é semelhante a \(BFC\) com razão de semelhança \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) também, assim teremos \(G_2 G_3 = BF \frac{\sqrt{3}}{3}\).
(c) Para concluir que \(G_1 G_2 = G_2 G_3\), mostraremos que \(AE = BF\). Para isso, mostraremos que os triângulos \(AEC\) e \(BFC\) são congruentes.
A animação a seguir ilustra esses três passos por meio de rotações e homotetia. Assista quantas vezes for necessário para entender este esboço da demonstração.
Demonstração de (a): Vamos mostrar que \(G_1 G_2 B\) é semelhante a \(AEB\) com razão de semelhança \(\frac{\sqrt{3}}{3}\). Isso será feito pelo caso lado-ângulo-lado (LAL) de semelhança de triângulos. Mostraremos que \(G_1B = AB \frac{\sqrt{3}}{3}\), que \(G_2B = BE \frac{\sqrt{3}}{3}\) e que os ângulos no vértice \(B\) nos dois triângulos são iguais. Usaremos também dois fatos famosos da geometria:
FATO 1: O baricentro de qualquer triângulos divide as medianas na razão de 2 para 1, a partir do vértice.
FATO 2: A altura de um triângulo equilátero de lado \(\ell\) mede \(\frac{\ell\sqrt{3}}{2}\). (Exercício 1)
Do FATO 1, temos que \(G_2 B\) mede \(\frac{2}{3}\) da altura de \(BCE\). O FATO 2 indica que o comprimento da altura de \(BCE\) mede \(\frac{BE\sqrt{3}}{2}\). Assim, \(G_2B = \frac{2}{3}\frac{BE \sqrt{3}}{2}\). De modo análogo \(G_1B = \frac{2}{3}\frac{AB \sqrt{3}}{2}\). Simplificando obtemos \(G_2B =BE \frac{\sqrt{3}}{3}\) e \(G_1B =AB\frac{\sqrt{3}}{3}\).
Na figura a seguir, \(\beta=\widehat{ABC}\). Como \(\widehat{G_1 B G_2} = \beta + 60^\circ = \widehat{ABE}\) (Exercício 2).
Portanto, \(G_1G_2 B\) é semelhante a \(AEB\) por LAL com razão\(\frac{\sqrt{3}}{3}\). Logo, \(G_1 G_2 = AE \frac{\sqrt{3}}{3}\).
Demonstração de (b): Vamos mostrar que \(G_2 G_3 C\) é semelhante a \(BFC\) com razão de semelhança \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) por LAL. Na figura abaixo, \(\gamma=\widehat{ACB}\).
Note que pelos mesmos fatos acima, temos \(G_3 C = \frac{2}{3}\frac{FC \sqrt{3}}{2}\), \(G_2 C = \frac{2}{3}\frac{BC \sqrt{3}}{2}\) e os ângulos no vértice \(C\) nos dois triângulos sendo iguais. Portanto, \(\frac {G_3 C}{FC}\) = \(\frac {G_2 C}{BC}\)= \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) e \(\widehat{G_3 C G_2} = \gamma + 60^\circ = \widehat{FCB}\). Logo, \(G_2G_3 C\) é semelhante a \(BFC\) com razão de semelhança \(\frac{\sqrt{3}}{3}\). Com isso, \(G_2 G_3 = BF \frac{\sqrt{3}}{3}\).
Mostre que \(G_1 G_3 A\) é semelhante a \(DCA\) (Exercício 3).
Demonstração de (c): Para concluir, precisamos mostrar a congruência dos triângulos \(AEC\) e \(BFC\) para concluir que \(AE = BF\).
De fato: temos \(BC = EC\) e \(AC = FC\) lados do triângulo equilátero \(BCE\) e \(ACF\), respectivamente, e
\(\widehat{BCF} = \theta + 60^\circ = \widehat{ACE}\). Assim, pelo caso LAL, os triângulos \(AEC\) e \(BFC\) são congruentes e, em particular, \(AE = BF\).
A demonstração de que \(AE = DC\) é análoga e será deixada como exercício (Exercício 4).Exercícios:
1) Mostre que as três alturas de um triângulo equilátero de lado \(\ell\) mede \(\frac{\ell\sqrt{3}}{2}\).
2) Por que \(\widehat{ABG_1} = \widehat{CBG_2} = 30^\circ\)?
3) Mostre que \(G_1 G_3 A\) é semelhante a \(DCA\).
4) Mostre que \(AE = DC\).
5) [PROBLEMA] Napoleão está no centro de seu castelo identificado pelo ponto \(N\) e suas mulharas como \(AC\) , \(AD\) e \(DC\), sendo estes lados de diferentes tamanhos formado assim um triângulos escaleno. O rei está avistou três navios inimigos \(B_1\) , \(B_2\) e \(B_3\) e percebeu que a menor distância até as mulharas é 5, 3 e 4, respectivamente, assim como mostra na figura. Sabendo que os navios estão no centro de triângulos equiláteros, qual é o perímetro do castelo de Napoleão?