0 - Pré-requisitos
Congruência de triângulos
A congruência é a noção de equivalência na geometria, assim, dizer que duas figuras são congruentes é o mesmo que dizer que elas são "iguais" do ponto de vista da geometria.
Dizemos que dois triângulos são congruentes quando existem uma correspondência entre os vértices desses triângulos de modo que os ângulos em vértices correspondentes são iguais e os lados determinados por vértices correspondentes também são iguais. Por exemplo, \(ABC\) e \(A'B'C'\) (nesta ordem) são congruentes quando valem
(i)\(AB = A'B'\),
(ii) \(BC = B'C'\),
(iii) \(AC = A'C'\),
(iv) \(\widehat{A} = \widehat{A'} \),
(v) \(\widehat{B} = \widehat{B'} \) e
(vi) \(\widehat{C} = \widehat{C'} \).
Casos de congruência de triângulos
Os casos de semelhança são condições suficientes para que os triângulos sejam congruentes, assim não é sempre necessário verificar todas as seis condições, bastam três condições em algumas das situações a seguir.
Caso L.L.L. (Lado - Lado - Lado): Se dois triângulos têm os lados correspondentes congruentes, então eles são congruentes.
Figura 1: \(AB \equiv DE\), \(BC \equiv EF\), \(CA \equiv FD\), então \(\triangle ABC \equiv \triangle DEF\)
Caso L.A.L. (Lado - Ângulo - Lado): se dois triângulos têm dois lados correspondentes congruentes, e o ângulo entre esses lados são congruentes, então eles são congruentes.
Figura 2: \(AB \equiv DE\), \(BC \equiv EF\), \(\angle ABC \equiv \angle DEF \Rightarrow \triangle ABC \equiv \triangle DEF\)
Caso A.L.A. (Ângulo - Lado - Ângulo): se dois triângulos têm dois ângulos iguais, então eles são congruentes.Figura 3: \(BC \equiv EF\), \(\angle ABC \equiv \angle DEF\), \(\angle ACB \equiv \angle DFE \Rightarrow \triangle ABC \equiv \triangle DEF\)
Semelhança de triângulos
Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem os ângulos correspondentes congruentes e os lados correspondentes proporcionais.Caso A.A. (Ângulo - Ângulo): Se dois triângulos possuem dois pares de ângulos correspondentes congruentes, então esses triângulos são semelhantes.
Caso L.A.L. (Lado – Ângulo – Lado): Se dois triângulos têm dois lados correspondentes proporcionais e os ângulos compreendidos por esses lados congruentes, então esses triângulos são semelhantes.
Caso L.L.L. (Lado – Lado – Lado): Se dois triângulos têm os lados homólogos proporcionais, então esses triângulos são semelhantes.
Ângulos formados por retas paralelas e transversais
Seja t uma transversal às retas r e s, intersccionando-as nos pontos A e B, respectivamente.
Ângulos Alternos Internos: São pares de ângulos que se encontram na mesma região, mas alternados em relação à transversal, ou seja, estão em lados opostos em relação à transversal. Na figura \(\alpha\) e \(\beta\) são alternos internos e congruentes.
Ângulos Colaterais Internos: são os pares de ângulos localizados do mesmo lado da transversal. Na figura \(\beta\) e \( \gamma\) são colaterais internos e suplementares (\(\beta + \gamma = 180^\circ\)).
Essas propriedades dos ângulos alternos internos e colaterais garantem que a soma dos ângulos adjacentes é 180°.
Equivalência sobre paralelogramos
Definição: Chamamos de paralelogramo o quadrilátero que tem dois pares de lados paralelos.
Teorema: Dado um quadrilátero plano as seguintes afirmações são equivalentes:
a) O quadrilátero é um paralelogramo.
b) Os dois pares de lados opostos são iguais.
c) Os dois pares de ângulos opostos são iguais.
d) As diagonais se intersectam em seus pontos médios.
e) Um dos pares de lados opostos são iguais e paralelos.
Mediana do triângulos
Definição: Dado um triângulo \(ABC\) a mediana relativa a \(BC\) é o segmento de reta que liga o vértice \( A \) ao ponto médio do lado \(BC \).
Teorema: Em todo triângulo \(ABC\) as três medianas se intersectam em um mesmo ponto \(G\) chamado de baricentro do triângulo \(ABC\). O ponto \(G\) divide cada uma das medianas na razão de dois para um a partir do vértice.